关于具有树 3-生成树的图的刻画

图 $G$ 的树生成树问题如下：对于给定的整数 $k$，是否存在 $G$ 的一棵生成树 $T$（称为树 $k$-生成树），使得 $T$ 中每对顶点之间的距离至多是它们在 $G$ 中距离的 $k$ 倍？图 $G$ 存在树 $k$-生成树的最小 $k$ 值记为 $\sigma(G)$。文献中众所周知，判定 $\sigma(G)\leq 2$ 是多项式时间可解的，而判定 $\sigma(G)\leq k$（对于 $k\geq 4$）是 NP 完全的。一个长期存在的开放问题是刻画满足 $\sigma(G)=3$ 的图。本文通过证明该问题是多项式时间可解的，解决了这一开放问题。