具有多种不同叶子数的生成树

设 $G$ 为连通图，$L(G)$ 为所有整数 $k$ 的集合，使得 $G$ 包含恰好有 $k$ 个叶子的生成树。我们证明了对于连通图 $G$，集合 $L(G)$ 是连续的。根据 Chen、Ren 和 Shan 的工作可知，每个连通且局部连通的 $n$ 顶点图（包括三角剖分）都拥有一棵至少具有 $n/2 + 1$ 个叶子的生成树；因此，结合 Whitney 的经典定理与我们的结果，在任何平面 4-连通 $n$ 顶点三角剖分中，对于任何大于等于 2 且小于等于 $n/2 + 1$ 的整数 $k$，都可以找到一棵恰好有 $k$ 个叶子的生成树（且这些树均可在多项式时间内构造）。我们还证明了存在无穷多个 $n$，使得存在一个平面 4-连通 $n$ 顶点三角剖分，其包含一棵具有 $2n/3$ 个叶子的生成树，但不包含叶子数超过 $2n/3$ 的生成树。