围长至少为$k$的图的$k$-in-a-tree问题

对于所有整数$k\geq 3$，我们给出了一个$O(n^4)$时间算法，该问题的实例是一个围长至少为$k$的图$G$以及$k$个顶点，问题是：“$G$是否包含一个包含这$k$个顶点且同构于一棵树的诱导子图？”对于$k=3$，这直接来自Chudnovsky和Seymour的三点共树算法；对于$k=4$，来自Derhy、Picouleau和Trotignon的结果。这里我们解决了$k\geq 5$的问题。我们的算法依赖于对围长至少为$k$且不包含覆盖给定$k$个顶点的诱导树的图（$k\geq 5$）的结构描述。