图的字典积与字典幂——一种游走矩阵方法

对于任意图 $H$ 和 $G$，图的字典积 $H[G]$（广义组合的一种特例，也称 $H$-join）的特征多项式与谱，用 $G$ 的特征值以及关联矩阵 $\widetilde{{\bf W}}$（关联 $H$ 与 $G$）显式地确定。本研究还建立了当图 $H$ 的零度为 $\eta>0$ 时，$G$ 的主特征值成为矩阵 $\widetilde{{\bf W}}$ 的主特征值或非主特征值的条件。在此情形下，我们证明 $G$ 的每个主特征值都是 $\widetilde{{\bf W}}$ 的特征值，重数至少为 $\eta$，且该特征值对 $\widetilde{{\bf W}}$ 为非主特征值，当且仅当 $0$ 是 $H$ 的非主特征值。此外，通过应用所得结果，我们分析了任意图 $G$ 的字典幂的谱。