张量的一些新迹公式及其在谱超图理论中的应用

我们给出了一些不涉及微分算子和辅助矩阵的张量$\mathbb {T}$的迹$Tr_k(\mathbb {T})$的图论公式。作为这些迹公式在研究一致超图谱中的应用，我们给出了谱是$k$-对称的$k$-一致超图的刻画（用邻接张量的迹表示），从而回答了文献 [3] 中提出的一个问题。我们推广了文献 [3, 定理 4.2] 和 [5, 命题 3.1] 中关于$k$-一致超图谱的$k$-对称性的结果，并回答了文献 [5] 中关于当$k$为奇数时$k$-一致超图的拉普拉斯谱和无符号拉普拉斯谱之间关系的问题。我们还给出了$Tr_2(\mathbb {T})$表达式的简化证明，并讨论了$Tr_3(\mathbb {T})$的表达式。