有限维 normed 空间上线性算子的高阶迹

我们证明了线性算子 $A$ 在有限维 normed 空间上的第 $k$ 阶高阶迹 $\lambda_k(A)=\operatorname{tr}(\Lambda^k A)$ 的统一迹-平均公式。该公式对单位球 $\Lambda^kX$ 上的概率测度 $\eta$ 对矩阵系数 $w\mapsto\langle(\Lambda^kA)w, w^*\rangle$ 进行平均；当且仅当算子值平均 $T_\eta=\binom{N}{k}\int w\otimes w^*\operatorname{d}\eta$ 等于恒等矩阵时，公式对所有 $A$ 都成立。两种自然的 $\eta$ 选择满足该各向同性条件：(i) 当有限等距群在 $\Lambda^k\mathbb{R}^N$ 上作为正交 $2$-设计作用时，使用曲面测度；(ii) 使用锥概率测度(无需对称性)。我们还在 $k=1$ 时识别了 hypersurface 平均的初一阶障碍：仅有度为 $2$ 的球谐函数贡献于支持函数。