迹幂揭示的对数行列式信息：闭式估计量、保证与失效模式

计算大型对称正定矩阵的log det(A)出现在高斯过程推断和贝叶斯模型比较中。标准方法将矩阵-向量乘积与多项式近似相结合。我们研究一种不同的模型：可以访问迹幂p_k = tr(A^k)，这在矩阵幂可用时很自然。经典的基于矩的近似方法围绕算术平均值对log(λ)进行泰勒展开。这要求|λ - AM| < AM，并且在κ > 4时发散。我们转而使用归一化特征值X = λ/AM的矩生成函数M(t) = E[X^t]。由于M'(0) = E[log X]，对数行列式变为log det(A) = n(log AM + M'(0))——问题简化为估计t=0处的导数。迹幂给出了正整数处的M(k)，但由于指数增长，直接插值M(t)是病态的。变换K(t) = log M(t)压缩了这个范围。通过AM归一化确保了K(0) = K(1) = 0。固定这些锚点后，我们通过m+1个连续整数插值K，并求导以估计K'(0)。然而，这种局部插值无法捕捉任意的谱特征。我们证明了一个基本限制：没有使用有限个正矩的连续估计器能够在无界条件数上保持均匀准确。正矩对谱尾赋予较低权重；而K'(0) = E[log X]对尾部敏感。这激发了有保证的界。从相同的迹中，我们推导出(det A)^{1/n}的上界。给定谱下界r ≤ λ_min，我们得到矩约束的下界，从而为log det(A)提供一个可证明的区间。一个间隙诊断指标指示何时信任点估计，何时报告边界。所有估计器和边界计算复杂度为O(m)，与n无关。对于m ∈ {4, ..., 8}，这实际上是常数时间。