局部域上随机矩阵幂的迹

令 $M$ 随机选择，服从于单位组 $U_n$、单位酉象数群 $USp_{2n}$ 或正交组 $O_n$ 上的 Haar 测度。Diaconis 和 Shashahani 证明，当固定 $k$ 且 $n\to\infty$ 时，迹 $\mathrm{tr}(M),\mathrm{tr}(M^2),\ldots,\mathrm{tr}(M^k)$ 收敛于独立的正态随机变量。最近，Grodetsky 和 Rodgers 证明了这些结果在来自特定有限矩阵群中的矩阵上的类比结果。例如，令 $M$ 随机选择自 $U_n(\mathbb{F}_q)$。他们表明，$\{\mathrm{tr}(M^i)\}_{i=1,p\nmid i}^{k}$ 在固定 $k$ 且 $n\to\infty$ 时收敛于独立的均匀随机变量。我们在局部域上的类比结果。令 $\mathcal{F}$ 为局部域，其整数环为 $\mathcal{O}$，统一元为 $\pi$，剩余域特征为奇数。令 $\mathcal{K}/\mathcal{F}$ 为次数为 $2$ 的未换元扩张，其整数环为 $\mathcal{R}$。令 $M$ 随机选择自 $U_n(\mathcal{O})$ 上的 Haar 测度，固定 $k$。我们证明，$\{\mathrm{tr}(M^i)\}_{i=1,p\nmid i}^k$ 收敛于 $\mathcal{R}$ 上的独立均匀随机变量，当 $n\to\infty$ 时。我们也考虑 $k$ 随 $n$ 趋于无穷大的情况。我们表明，对于来自模 $\pi$ 分布的常数 $c$，当 $n\to\infty$ 且 $k<c\cdot n$ 时，$\mathcal{R}$ 上独立均匀随机变量的总变差距离为 $o(1)$。我们也考虑其他局部域上的矩阵群并证明类似结果。此外，我们考虑幂 $M^{pi}$ 和负幂的迹，表明除某些必要的模限制外，它们在极限下也均匀分布。