有限域上矩阵幂的迹

设 $M$ 为按 Haar 测度从酉群 $\mathrm{U}(n,\mathbb{C})$ 中选取的随机矩阵。Diaconis 与 Shahshahani 证明了当 $n \to \infty$ 时，$M,M^2,\ldots,M^k$ 的迹依分布收敛于独立正态变量；Johansson 证明了收敛速率为 $n$ 的超指数级。我们证明了这些结果的有限域类比。固定素幂 $q = p^r$，我们从有限酉群 $\mathrm{U}(n,q)\subseteq \mathrm{GL}(n,q^2)$ 中均匀选取矩阵 $M$，并证明当 $n \to \infty$ 时，$\{ M^i \}_{1 \le i \le k,\, p \nmid i}$ 的迹收敛于 $\mathbb{F}_{q^2}$ 中的独立均匀变量。此外我们证明收敛速率为 $n^2$ 的指数级。我们还考虑了密切相关的问题，即 $M$ 的特征多项式在 $\mathbb{F}_{q^2}[T]$ 的“短区间”中等分布的速度。对有限域上的一般线性群、特殊线性群、辛群与正交群也证明了类似结果。在后两族中我们限制为奇特征。证明依赖于将函数域上的解析数论技术应用于 Fulman 等人给出的随机矩阵特征多项式等于给定多项式的概率公式。