关于 Kac 矩阵随机游动向平衡态的收敛性

我们考虑 $n$ 维旋转矩阵上的 Kac 随机游走，其中每一步是由两个随机选取的坐标生成的平面内的随机旋转。我们证明该过程在 $O(n^2\ln n)$ 步内，依 $L^2$ 传输代价（Wasserstein）度量收敛于 $\mathit{SO}(n)$ 上的 Haar 测度。我们还证明了我们的界与最优界相差至多一个 $O(\ln n)$ 因子。此前由 Diaconis/Saloff-Coste 和 Pak/Sidenko 给出的界包含 $n$ 的额外幂次，且仅适用于 $L^1$ 传输代价。我们的证明方法包含一个具有独立意义的一般性结果，类似于 Bubney 和 Dyer 的路径耦合方法。假设 $P$ 是 Polish 长度空间 $(M,d)$ 上的马尔可夫链，且对于所有满足 $d(x,y)\ll1$ 的 $x,y\in M$，存在 $P$ 从 $x$ 和 $y$ 出发的一步耦合 $(X,Y)$，使得距离平均以 $(\xi+o(1))$ 因子收缩。则映射 $\mu\mapsto\mu P$ 在传输代价度量下是 $\xi$-收缩的。