$\mathcal{W}_2$距离下具有近最优收敛率的高维中心极限定理

设 $X_1, \ldots , X_n$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中独立同分布的随机向量，且 $\|X_1\| \le \beta$。则我们证明 $\frac{1}{\sqrt{n}}(X_1 + \ldots + X_n)$ 在二次传输（亦称“Kantorovich”或“Wasserstein”）距离下以 $O\left( \frac{\sqrt{d} \beta \log n}{\sqrt{n}} \right)$ 的速率收敛于高斯分布，改进了Valiant与Valiant的结果。我们定理的主要特征是，当 $n, d \rightarrow \infty$ 时，其收敛速率与最优值相差在 $\log n$ 以内。