最优传输中的新算法思路及面向产品空间的应用

我们从算法视角研究两个高维分布 $\mu,\nu$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上的最优传输问题：给定 $x \sim \mu$，在 $poly(n)$ 时间内找到一个接近 $y \sim \nu$ 的 $y$，其中 $n$ 为 $x,y$ 的维数。因此，运行时间取决于维度而非 $\mu,\nu$ 的完整表示规模。我们的主要结果是：一个通用算法可将任意产品分布 $\mu$ 传输到任意 $\nu$，在 $\ell_p^p$ 距离下 cost 为 $\Delta + \delta$，其中 $\Delta$ 为Knothe-Rosenblatt传输成本，$\delta$ 为随运行时间减小的计算误差。这要求 $\nu$ 具备“顺序可采样”特性，即在平均采样成本受限下可被顺序采样，这是一种新的但自然的概念。我们进一步证明：一个算法化的Talagrand不等式版本，用于在平方欧几里得距离下将标准高斯 $\Phi^n$ 传输到任意 $\nu$。对于 $\nu = \Phi^n$ 条件于集合 $\mathcal{S}$（其测度为 $\varepsilon$），我们在预期时间 $poly(n/\varepsilon)$ 中构建顺序采样器，利用 $\mathcal{S}$ 的成员 oracle 访问。具体而言，这在 $poly(n/\varepsilon)$ 时间内将 $\Phi^n$ 传输到 $\Phi^n|\mathcal{S}$，且预期平方距离为 $O(\log 1/\varepsilon)$，对一般测度为 $\varepsilon$ 的 $\mathcal{S}$ 最为 optimal。作为推论，我们获得了Etesami等人（SODA 2020）提出的第一个计算聚类结果（Etesami et al. SODA 2020），针对欧几里得距离下的高斯测度，维度独立的传输成本，解决了Etesami等人的开放问题。具体而言，对于任意高斯测度为 $\varepsilon$ 的 $\mathcal{S}$，大多数 $\Phi^n$ 样本可在 $poly(n/\varepsilon)$ 时间内映射到 $\mathcal{S}$，且距离为 $O(\sqrt{\log 1/\varepsilon})$。