自由乘性中心极限定理中的收敛速率

我们给出自由乘性中心极限定理 (CLT) 中收敛速率的首个定量估计，采用Kolmogorov 距离和 $r$-Wasserstein 距离衡量，其中 $r \geq 1$。虽然自由加法 CLT 已被广泛研究，包括收敛速率，但在乘性情形下仍未人知。我们考虑形如 $$\pi_n^{g,n^{-1/2}x} := g\left(\frac{x_1}{\sqrt{n}}\right) \cdots g\left(\frac{x_n}{\sqrt{n}}\right),$$ 的乘积，其中 $x_1, \dots, x_n$ 为自由独立的自伴算子，具有相同的方差 $\sigma^2$，且 $g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ 满足一定的正则性和可积性条件。我们量化了 $\pi_n^{g,x}$ 奇异值分布偏离自由正半圆律的程度，所得界限仅取决于基本变量的矩。此外，我们还给出一种 combinatorics 证明方法，可推广至无界情形。