非同分布随机变量中心极限定理中的分布范数收敛

我们研究非同分布随机变量的中心极限定理中的分布范数收敛，即 $$\varepsilon_{n}(f):={\mathbb{E}}\Big(f\Big(\frac 1{\sqrt n}\sum_{i=1}^{n}Z_{i}\Big)\Big)-{\mathbb{E}}\big(f(G)\big)\rightarrow 0$$ 其中$Z_{i}$是中心化独立随机变量，$G$是高斯随机变量。我们还考虑局部展开(Edgeworth展开)。这类结果在光滑测试函数$f$的情况下已被很好理解。如果处理可测有界测试函数(全变距离收敛)，Prohorov的一个著名定理表明需要$Z_{i}$ ($i\in {\mathbb{N}}$)的律的某些正则性条件。本质上，需要$Z_{i}$的律被Lebesgue测度局部下界控制(Doeblin条件)。该主题也在文献中被广泛讨论。我们的主要贡献是讨论分布范数中的收敛，即用导数$\partial_{\alpha }f$替换测试函数$f$，并获得$\varepsilon_{n}(\partial_{\alpha }f)$关于$f$的无穷范数的上界。还讨论了一些应用：随机游动占据时间的不变原理、小球估计以及具有随机系数的三角多项式根数的期望值。