保测变换的 von Mises 统计量的极限定理

对于概率空间 $(X,\mathcal F,\mu)$ 上的一个保测变换 $T$，我们研究形如 $$x \to \frac{1}{C_n} \sum_{i_1<n,...,i_d<n} f(T^{i_1}x,...,T^{i_d}x),\, n=1,2,...,$$ 的随机变量的几乎必然收敛和分布收敛，其中 $f$（称为\emph{核}）是从 $X^d$ 到 $\R$ 的函数，而 $C_1, C_2,...$ 是适当的归一化常数。我们观察到，只要核选自射影张量积 $$L_p(X_1,\mathcal F_1, \mu_1) \otimes_{\pi}...\otimes_{\pi} L_p(X_d,\mathcal F_d, \mu_d)\subset L_p(\mu^d)$$ 且 $p=d\,r,\, r\ \in [1, \infty)$，上述随机变量就是良定义的且属于 $L_r(\mu)$。我们为这类序列建立了一种个体遍历定理的形式。接着，我们给出一个鞅逼近论证，以在非退化情形（在经典 Hoeffding 分解的意义下）推导出一个中心极限定理。此外，对于 $d=2$ 和一大类典型核 $f$，我们还证明了其分布收敛于一个二次型 $\sum_{m=1}^{\infty} \lambda_m\eta^2_m$，其中 $\eta_1, \eta_2,...$ 是独立的标准高斯变量。我们关于分布收敛的结果以 $T$ 不变滤子为前提，并从单变量和多变量鞅逼近推导得出。