Wigner 系综对数行列式的边缘中心极限定理

我们推导了 $\log \left\vert\det \left( W_{N}-E_{N}\right)\right\vert$ 的中心极限定理(CLT),其中 $W_{N}$ 为 Wigner 矩阵,$E_{N}$ 位于半圆律边缘的局部位置。确切地说,$E_N=2+N^{-2/3}\sigma_N$,其中 $\sigma_N$ 为常数(可能为负),或为一列缓慢发散至无穷的正实数,满足 $\sigma_N \ll \log^{2} N$。我们还将该 CLT 推广至带尖峰的 Wigner 矩阵。我们对该 CLT 的兴趣源于其在临界尖峰模型中的统计检验以及统计物理中球状 Sherrington-Kirkpatrick 模型自由能涨落方面的应用。