量子中心极限定理在迹距离与相对熵中的最优收敛率

量子中心极限定理（CLT）的量子类比，首次由 Cushen 和 Hudson（1971）提出，用于描述简谐系统。该定理表明，一个具有零一次矩和有限二次矩的 m 模量量子态 ρ 的 n 倍卷积 ρ^{\boxplus n} 会随着 n 的增大而弱收敛于具有相同一次、二次矩的高斯态 ρ_G（称为其 Gaussification）。最近，该结果已扩展并给出各种距离度量下的收敛率估计。本文建立了在迹距离和量子相对熵中的最优收敛率。具体而言，我们证明对于具有有限三阶矩的中心化 m 模量量子态，ρ^{\boxplus n} 与 ρ_G 之间的迹距离以最优收敛率 O(n^{-1/2}) 衰减。此外，对于具有有限四阶矩（当 m>1 时可取任意小的 delta>0 的 4+delta 阶）的态，我们证明 ρ^{\boxplus n} 与 ρ_G 之间的相对熵以最优收敛率 O(n^{-1}) 衰减。这两种收敛率均被证明是最优的，即使假设 ρ 的所有矩均有限。这些结果放宽了之前对更高阶矩的假设，使收敛率与经典情形中最佳结果相吻合。通过给出具体例子，我们也表明我们的矩假设是本质上最小的。我们的证明借鉴了来自经典文献的技术，包括针对量子特征函数的 Edgeworth 类型展开，已适用于量子情境。我们量子熵 CLT 证明中的关键技术步骤是建立一个量子态与其 Gaussification 之间的相对熵距离的上界，这本身也具有独立的兴趣。