Kac 步在旋转矩阵上的混合时间为 $n^2 \log n$

Natesh S. Pillai; Aaron Smith

Kac 步在旋转矩阵上的混合时间为 $n^2 \log n$

概率论 2026-04-28 v1 统计理论统计计算统计理论

作者: Natesh S. Pillai , Aaron Smith

摘要

Kac 在旋转群上的步, 由 Hastings 于 1970 年引入, 是一个重要的高维马尔可夫链, 在统计物理、统计学、密码学和计算科学中具有应用. 尽管其转换规则简单, 但确定其 total-variation 混合时间已困扰数十年. 一个关键障碍是该步不具备共轭不变性, 超出了许多相关随机 walk 在紧致群上可用的经典傅里叶分析技术的范围. 我们证明 Kac 步以 total variation 方式混合于 $O(n^2 \log n)$ 步, 与预期混合时间在常数上相符. 证明基于改进的两阶段耦合. 建立在早期工作基础上, 第一阶段通过 Wasserstein 耦合将两个链子约束到小邻域. 我们主要贡献是一种新的框架来分析第二阶段耦合. 可视为马利文微积分在马尔可夫链上的离散类比. 我们将链的分布表示为高维噪声的 pushforward, 并使用矩阵鞅方法证明其线性化的定量非退化性. 由此得到在 Lie 代数中具有良好条件协方差的约束性高斯分布, 允许小群平移在 total variation 中的成本可忽略. 我们的做法为研究连续状态空间中具有奇异转换核的高维马尔可夫链的混合提供了通用框架.

引用

@article{arxiv.2604.23828,
  title  = {Kac's walk on rotation matrices mixes in $n^2 \log n$ steps},
  author = {Natesh S. Pillai and Aaron Smith},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2604.23828},
  year   = {2026}
}

Kac 步在旋转矩阵上的混合时间为 $n^2 \log n$

摘要

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