关于 Transvection 步行在 k 列上的混合

在 Diaconis 和 Saloff-Coste (1996) 中，作者引入了简单"transvection" 步行于 $\mathrm{GL}_n(\mathbb F_2)$：在每一步，选择两个 distinct 行并将一个加到另一个。在 Ben-Hamou (2025)，该作者最近证明了该步行在 $O(n^2\log n)$ 的混合时间。受密码学应用启发（见 Sotiraki (2016)），Ben-Hamou 和 Peres (2018) 推测该步行的前 $k$ 列在 $O(nk \log(n))$ 步骤内混合。在我们的主要结果是对该猜想在 $n$ 和 $k$ 上均匀的证明。我们的证明基于 local-to-global 熵估计，胚致类 block factorization 结果如 Caputo 等 (2015)，Caputo 等 (2021)。在我们的设置中，对应于 Caputo 等 (2021) 的 kernel 大约对应于 block kernel，但它们不具备一致的大 log-Sobolev 常数，因此直接应用这些技术无法在 Ben-Hamou (2025) 之上获得改进。我们通过将熵估计与类似 Rosenthal (1995) 的经典 drift-and-minorization 论证的 burn-in 论证相结合来规避这些差坑。该方法可能对更广泛的兴趣有益，因此我们通过证明 Heisenberg 群上一族 product-replacement 算法的类似结果来加以说明。