对数凹多项式 IV：近似交换、紧混合时间与森林的近最优采样

我们证明了拟阵基、行列式分布以及更一般地关联于对数凹多项式的分布上自然随机游走的紧混合时间界。对于秩为 $k$、底集含 $n$ 个元素的拟阵，或更一般地关于 $n$ 个变量齐次次数 $k$ 的对数凹多项式关联的分布，我们证明自支撑集中任一点出发的下-上随机游走可在 $O(k\log k)$ 时间内混合。与先前分析 [ALOV19,CGM19] 不同，我们的界不依赖于 $n$ 或起点，且在常数因子内紧。主要新要素是我们称之为近似交换的性质，它是拟阵与赋值拟阵中已深入研究的交换性质的推广，可能具有独立意义。特别地，给定函数 $\mu: {[n] \choose k} \to \mathbb{R}_{\geq 0},$ 我们的近似交换性质意味着当 $\mu$ 由对数凹多项式生成时，简单局部搜索算法给出 $\max_{S} \mu(S)$ 的 $k^{O(k)}$ 近似，而当 $\mu$ 为强 Rayleigh 时贪心给出相同近似比。作为应用，我们展示如何利用下-上随机游走以 $O(n\log^2 n)$ 时间在含 $n$ 条边的图中近似采样随机森林或随机生成树。已知采样随机森林的最佳结果是 \cite{ALOV19, CGM19} 近期给出的具有高多项式运行时间的 FPAUS。对于生成树，我们改进了 [Sch18] 的近线性时间算法。我们的分析也适用于加权图，且是首个对这些问题达到近线性运行时间的。