时间偏置随机游走与扩展图的鲁棒性

扩展图上的随机游走在马尔可夫链蒙特卡洛算法、去随机化、图论以及分布式计算中发挥着至关重要的作用。一个理想的性质是它们具有快速混合性，这等价于其谱隙 $\gamma$（渐近地）远离 $0$。我们的工作包含两个主要方面。首先，我们针对在 Lipschitz 条件下边加权 $d$-正则图（即可逆马尔可夫链）的混合时间鲁棒性建立了一个二分定理，该 Lipschitz 条件将相邻权重的比值限制为 $\beta \geq 1$。若 $\beta \ge 1$ 足够小，则 $\gamma \asymp 1$ 且混合时间关于 $n$ 是对数级的。另一方面，若 $\beta \geq 2d$，则存在一种边加权方式使得 $\gamma$ 在 $1/n$ 下是多项式级微小的。其次，我们将我们的鲁棒性结果应用于 Azar 等人 [Combinatorica 1996] 引入的所谓 $\varepsilon$-偏置随机游走的时间依赖版本。我们证明，对于任意常数 $\varepsilon>0$，可以自适应地选择偏置策略，使得 $\varepsilon$-偏置随机游走在 $\Theta(n)$ 的期望时间内覆盖任意有界度正则扩展图，改进了先前 $O(n \log \log n)$ 的最佳界限。我们证明了 $\varepsilon$-偏置随机游走覆盖时间的首个非平凡下界，表明在有界度正则扩展图上，当 $\varepsilon = o(1)$ 时，该覆盖时间为 $\omega(n)$。我们通过控制使用时间依赖偏置策略能将任意事件的概率“提升”多少来建立这一结论。