非回溯随机游走的 Poisson 近似

扩张图上的随机游走已被深入研究，其重要动机在于，在某些自然条件下，这些游走混合迅速，并提供了一种对图顶点进行采样的有效方法。Alon、Benjamini、Lubetzky 和 Sodin 研究了正则图上的非回溯随机游走，并表明其混合速率最高可达简单随机游走的两倍。作为应用，他们指出，在高围长 $n$ 顶点正则扩张图上长度为 $n$ 的非回溯随机游走到某个顶点的最大访问次数通常为 $(1+o(1))\frac{\log n}{\log\log n}$，这与球与箱实验中的情况类似。他们进一步询问是否可以建立此类游走访问次数的精确分布。在本文中，我们通过结合广义形式的 Brun 筛法与 Alon 等人思想的一些扩展来回答上述问题。设 $N_t$ 表示在固定度数和围长 $g$ 的正则 $n$ 顶点扩张图上，长度为 $n$ 的非回溯随机游走恰好访问 $t$ 次的顶点数。我们证明，如果 $g=\omega(1)$，则对于任意固定的 $t$，$N_t/n$ 通常为 $\frac{1}{\mathrm{e}t!}+o(1)$。此外，如果 $g=\Omega(\log\log n)$，则对于所有 $t \leq (1-o(1))\frac{\log n}{\log\log n}$，$N_t/n$ 一致地为 $\frac{1+o(1)}{\mathrm{e}t!}$，而对于所有 $t \geq (1+o(1))\frac{\log n}{\log\log n}$ 则为 0。特别是，我们获得了关于单个顶点典型最大访问次数的上述结果，并具有改进的阈值窗口。证明的本质在于表明，计数足够远的一组顶点访问次数的变量是渐近独立的 Poisson 变量。