随机正则图上随机游走覆盖时间分布的解析结果
无序系统与神经网络
2021-12-22 v1 统计力学
摘要
我们给出了由 N 个度为 c（c ≥ 3）的节点组成的随机正则图上随机游走（RWs）覆盖时间分布的解析结果。从 t=1 时的随机初始节点出发，在每时间步 t ≥ 2，RW 跳入其前一节点的随机邻居。在某些时间步中，RW 可能访问一个新的、尚未访问的节点，而在其他时间步中可能重新访问之前已访问过的节点。覆盖时间 T_C 是 RW 至少一次访问网络中每个节点所需的时间步数。我们推导了直到时间 t 的 RW 访问的不同节点数 s 的分布 P_t(S=s) 的主方程并解析求解。代入 s=N 我们得到覆盖时间的累积分布，即 RW 直到时间 t 访问网络中全部 N 个节点的概率 P(T_C ≤ t) = P_t(S=N)。取大网络极限，我们证明 P(T_C ≤ t) 收敛到 Gumbel 分布。我们计算了部分覆盖（PC）时间的分布 P(T_{PC,k} = t)，即 RW 在时间 t 完成访问 k 个不同节点的概率。我们还计算了随机覆盖（RC）时间的分布 P(T_{RC,k} = t)，即 RW 在时间 t 完成至少一次访问 k 个随机预选节点组成的子图中所有节点的概率。覆盖时间分布的解析结果与计算机模拟结果非常吻合。
引用
@article{arxiv.2110.13592,
title = {Analytical results for the distribution of cover times of random walks on random regular graphs},
author = {Ido Tishby and Ofer Biham and Eytan Katzav},
journal= {arXiv preprint arXiv:2110.13592},
year = {2021}
}
备注
47 pages, 11 figures. arXiv admin note: text overlap with arXiv:2102.12195, arXiv:2106.10449