随机正则图上随机游走首次返回时间分布的解析结果

我们给出了由 $N$ 个度为 $c \ge 3$ 的节点组成的随机正则图（RRG）上随机游走（RW）首次返回（FR）时间分布的解析结果。从 $t=0$ 时的随机初始节点 $i$ 出发，在每步 $t \ge 1$ 时 RW 跳至其前一节点的随机邻居。我们计算了回到初始节点 $i$ 的首次返回时间分布 $P ( T_{\rm FR} = t )$。我们区分两类首次返回轨迹：RW 沿自身步序原路退行回到初始节点 $i$ 的轨迹，以及 RW 经由非退行路径返回 $i$ 的轨迹。在退行情形中，属于 RW 轨迹的每条边在前进与后退方向上被穿越的次数相同。在非退行情形中，由 RW 访问的节点及其间所穿越边构成的子图至少包含一个环。在 $N \rightarrow \infty$ 极限下，RRG 收敛于 Bethe 晶格。Bethe 晶格呈现树状结构，其中所有首次返回轨迹均属于退行情形。此外，在 $N \rightarrow \infty$ 极限下，RRG 上 RW 的轨迹是暂态的，即它们以概率 $<1$ 返回初始节点。在此意义上它们类似于维数 $d \ge 3$ 正则晶格上 RW 的轨迹。解析结果与计算机模拟结果高度吻合。