随机正则图上随机游走首次命中时间分布的解析结果

我们给出了度数为 $c \ge 3$、有限大小 $N$ 的随机正则图（RRGs）上随机游走（RWs）首次命中时间分布的解析结果。从时间 $t=1$ 的随机初始节点出发，在每个时间步 $t \ge 2$，RW 随机跳入其前一节点的 $c$ 个邻居之一。在某些时间步中，RW 可能跳入尚未访问的节点，而在其他时间步中可能重新访问之前已访问过的节点。RW 进入此前已被访问过的节点的首次时间称为首次命中时间或首次相交长度。首次命中事件可能通过回溯（BT）到前一节点发生，或通过重溯（RET）发生，即步入在两个或更多时间步之前已访问过的节点。我们计算了首次命中（FH）时间的尾部分布 $P( T_{\rm FH} > t )$ 及其均值 $\langle T_{\rm FH} \rangle$ 和方差 ${\rm Var}(T_{\rm FH})$。我们还计算了首次命中事件分别通过回溯情景和重溯情景发生的概率 $P_{\rm BT}$ 和 $P_{\rm RET}$。我们表明在稀疏网络中主导的首次命中情景是回溯，而在稠密网络中主导情景是重溯，并针对这两种情景计算了条件分布 $P(T_{\rm FH}=t| {\rm BT})$ 和 $P(T_{\rm FH}=t| {\rm RET})$。解析结果与计算机模拟结果高度吻合。将首次命中事件视为 RW 轨迹的终止机制，这些结果为当两个或更多终止情景共存时的生存分析和死亡率统计这一一般问题提供了有用的见解。