具有随机重置的非齐次随机游走：在 Gillis 模型中的应用

我们考虑在存在重置的情况下，具有位置相关漂移（称为 Gillis 随机游走）的空间非齐次随机游走到原点的首达时间问题。该游走从初始位置 $x_0$ 出发，并以固定概率 $r$ 在每一步被重置到给定位置 $x_r$。从一般性视角出发，我们首先推导了一系列关于首达时间分布的一阶和二阶矩的结果，这些结果对广泛的一类过程成立，包括缺乏平移不变性的随机游走；随后我们将这些结果应用于具体模型。当不施加重置时，通过调节定义该过程转移概率的参数 $\epsilon$，游走的常返性质会发生改变，我们可以观察到：暂态游走、零常返游走或正常返游走。当开启重置机制后，我们在所有 regime 中定量研究了搜索效率的提升。特别地，在每种情况下重置都使系统以概率 1 到达目标，且平均而言在有限时间内完成。若无非重置系统处于暂态或零常返 regime，这使得重置总是有利的，并且保证了存在最优重置概率 $r^*$ 使平均首达时间最小化。相反，当系统为正常返时，引入重置未必有益。我们解释在此情形下，重置概率 $r$ 存在一个阈值 $r_{\mathrm{th}}$，高于该阈值时重置机制相对于无非重置系统会产生更大的平均首达时间。我们给出了对 $r_{\mathrm{th}}$ 的研究，对于某些系统参数值它可为零，这意味着……