随机正则图上随机游走首达时间分布的解析结果

我们给出了由 $N$ 个度为 $c \ge 3$ 的节点组成的随机正则图上随机游走（RWs）首达（FP）时间分布的解析结果。从 $t=0$ 时的随机初始节点出发，在每一个时间步 $t \ge 1$，RW 跳到其前一节点的一个随机邻居。在某些时间步中，RW 可能跳入尚未访问过的节点，而在其他时间步中可能重新访问之前已经访问过的节点。我们计算了从随机初始节点 $i$ 到随机目标节点 $j$（$j \ne i$）的首达时间分布 $P( T_{\rm FP} = t )$。我们区分主干遵循从初始节点 $i$ 到目标节点 $j$ 的最短路径（SPATH）的 FP 轨迹，以及主干不遵循最短路径（$\lnot {\rm SPATH}$）的 FP 轨迹。更精确地说，从初始节点 $i$ 到目标节点 $j$ 的 SPATH 轨迹被定义为：由沿轨迹的节点和边组成的子网络是一棵树网络的轨迹。此外，该子网络上 $i$ 与 $j$ 之间的最短路径与整个网络中的相同。SPATH 情形主要在初始节点 $i$ 与目标节点 $j$ 之间最短路径长度 $\ell_{ij}$ 较小时较为可能。解析结果与计算机模拟所得结果非常吻合。