配置模型网络上非回溯随机游走首次返回时间分布的解析结果

我们给出了由 $N$ 个节点组成、度分布为 $P(k)$ 的无向配置模型网络上非回溯随机游走（NBWs）首次返回（FR）时间分布的解析结果。我们关注网络由单个连通分量组成的情况。从 $t=0$ 时的随机初始节点 $i$ 出发，NBW 在 $t=1$ 时跳到 $i$ 的一个随机邻居，并在随后的每一步中，继续跳到其当前节点的一个随机邻居，但不包括前一个节点。我们计算了从随机初始节点到其自身的首次返回时间的尾分布 $P ( T_{\rm FR} > t )$。研究发现 $P ( T_{\rm FR} > t )$ 由度分布 $P(k)$ 的离散拉普拉斯变换给出。这一结果例证了由度分布刻画的网络结构性质与网络上发生的动力学过程性质之间的关系。利用尾和公式，我们计算了平均首次返回时间 ${\mathbb E}[ T_{\rm FR} ]$。令人惊讶的是，${\mathbb E}[ T_{\rm FR} ]$ 与适用于简单随机游走（RWs）的 Kac 引理所得结果一致。我们还计算了方差 ${\rm Var}(T_{\rm FR})$，它解释了不同 NBW 轨迹之间首次返回时间的变异性。我们将这一形式体系应用于 Erd{\H o}s-R\'enyi 网络、随机正则图以及具有指数和幂律度分布的配置模型网络，并获得了 $P( T_{\rm FR} > t )$ 及其均值和方差的闭式表达式。这些结果为 NBWs 在网络探索、采样和搜索过程中优于简单 RWs 的优势提供了有用的见解。