具有最小度局部规则的随机游走的覆盖时间为 $O(n^2)$

对于具有 $n$ 个顶点的连通图上的简单（无偏）随机游走，覆盖时间（访问所有顶点的期望步数）至多为 $O(n^3)$。我们考虑局部偏置随机游走，其中遍历一条边的概率取决于其端点的度。我们证实了 Abdullah, Cooper 和 Draief [2015] 的猜想：最小度局部偏置规则确保 $O(n^2)$ 的覆盖时间。为此我们表述并证明了关于生成树的以下引理。令 $R(e)$ 表示边 $e$ 的两个端点中较小的度。如果权函数 $W$ 非负、受控于 $R$（每条边 $W(e) \le R(e)$）且所有边的比值 $W(e)/R(e)$ 之和等于 $n-1$，则称其为可行。例如树中 $W(e) = R(e)$，正则图中边权和为 $d(n-1)$。引理：对每个可行 $W$，最小权生成树的总权为 $O(n)$。对于正则图，类似引理由 Kahn, Linial, Nisan 和 Saks [1989] 证明。