固定规模匹配上下行游走的快速混合

设 $G = (V,E)$ 是一个 $n$ 个顶点的图，令 $m^*(G)$ 表示 $G$ 中最大匹配的大小。我们证明，对于任意 $\delta > 0$ 和任意 $1 \leq k \leq (1-\delta)m^*(G)$，$G$ 中大小为 $k$ 的匹配上的上下行游走（down-up walk）在关于 $n$ 的多项式时间内混合。此前，即使对于最大度为 $\Delta$ 的图，多项式混合也是未知的，我们的结果在 Jain、Perkins、Sah 和 Sawhney [STOC, 2022] 猜想上下行游走在最优时间 $O_{\Delta,\delta}(n\log{n})$ 内混合方面取得了进展。与近期使用谱独立性框架分析各种设置中上下行游走混合的工作不同，我们通过构造和分析合适的多商品流（multi-commodity flow）来界定谱间隙。事实上，我们给出了说明谱独立性方法在我们设置中局限性的构造。