Glauber 动力学的最优混合：基于高维展开的熵分解

我们在多种情形下证明了被称为 Glauber 动力学或 Gibbs 采样的单点更新马尔可夫链的最优混合时间界。我们的工作给出了 Anari 等人 (2020) 谱独立方法的一个改进版本，并表明当关联影响矩阵的最大特征值有界时，在任何 $n$ 顶点有界度图上均有 $O(n\log{n})$ 的混合时间。作为我们结果的一个应用，对于由逸度 $\lambda$ 加权的独立集上的硬核模型，我们建立了在任意最大度 $\Delta$ 为常数的 $n$ 顶点图上，当 $\lambda<\lambda_c(\Delta)$ 时 Glauber 动力学的 $O(n\log{n})$ 混合时间，其中 $\lambda_c(\Delta)$ 是 $\Delta$-正则树上唯一性/非唯一性相变的临界点。更一般地，对于任意反铁磁 2-自旋系统，我们证明了在相应的树唯一性区域内，Glauber 动力学在任意有界度图上的 $O(n\log{n})$ 混合时间。我们的结果适用面更广；例如，我们还得到了当颜色数满足 $q > \alpha \Delta$（其中 $\alpha \approx 1.763$）时，最大度 $\Delta$ 的无三角形图的 $q$-着色的 $O(n\log{n})$ 混合，以及任意有界度且含 $m$ 条边的图的随机匹配生成的 $O(m\log{n})$ 混合。