论马尔可夫链的混合：耦合、谱独立性与熵分解

对于一般自旋系统，我们证明任意局部马尔可夫链的收缩耦合意味着对包括 Glauber 动力学、任意热浴块动力学和 Swendsen-Wang 动力学在内的一大类马尔可夫链的混合时间与修正对数 Sobolev 常数给出最优界。这揭示了用于界定平稳收敛的概率技术与用于分析相对熵衰减的分析工具之间的新联系。作为我们一般结果的推论，当 $q > (11/6 - \epsilon_0)\Delta$（其中某固定 $\epsilon_0>0$）时，对于具有常数最大度 $\Delta$ 的 $n$ 顶点图的随机 $q$-着色的采样，我们得到 Glauber 动力学的 $O(n\log{n})$ 混合时间与 $\Omega(1/n)$ 修正对数 Sobolev 常数。对于常数最大度的 $n$ 顶点图上铁磁 Ising 模型，当系统参数位于树唯一性区域时，我们得到 Swendsen-Wang 动力学的 $O(\log{n})$ 混合时间与 $\Omega(1)$ 修正对数 Sobolev 常数。我们结果的核心是用于建立自旋系统谱独立性与相对熵块分解的新技术。一方面我们证明局部马尔可夫链的收缩耦合意味着 Gibbs 分布的谱独立性。另一方面我们表明谱独立性意味着任意块的熵分解，从而建立相应块动力学的修正对数 Sobolev 常数的最优界。