近最大度数的图色抽样：非马尔可夫耦合与局部均匀性

通过局部马尔可夫链抽样图色着色是近似计数和马尔可夫链蒙特卡罗 (MCMC) 中的核心问题。我们解决的是抽样最大度为 $\Delta$ 的图的 $k$ 着色问题。最简单的算法方法是建立单站点更新链——即 Metropolis Glauber 动力学的快速混合，该动力学在每一步随机选择一个顶点 $v$，提议一种随机颜色 $c$，若染色后仍为合法则将 $v$ 染为 $c$。证明 Glauber 动力学在所有图上只要 $k\geq\Delta+2$ 时都有多项式混合时间是一个长期以来的开放问题。我们证明对于每一个 $\delta>0$ 和所有 $\Delta \geq \Delta_0(\delta)$，若 $k\ge (1+\delta)\Delta$，则在任意最大度为 $\Delta$ 且 girth $\geq 11$ 的图上，Glauber 动力学具有 $O_{\delta}(|V| \log |V|)$ 的最优混合时间。我们的方法建立在 Hayes 与 Vigoda (2003) 引入的非马尔可夫耦合之上，该耦合适用于大度数情形 $\Delta=\Omega(\log n)$，即时刻的更新可依赖并修改未来时刻的提议。在完整分析这一框架时需要解决原文论证中潜在的技术性障碍，而将其扩展至常数度数情形又引入进一步的困难，因为非马尔可夫更新可能以常数概率失败。我们通过发展和分析一种细化的局部非马尔可夫耦合，以及建立新的 Metropolis 动力学的局部均匀性结果（扩展自 Hayes (2013) 对 heat-bath 链的先前结果），克服了这些障碍。这些构件共同提供了非马尔可夫耦合框架在大度数情形下的完整分析，同时显著加强其规模，使其能够最优地向常数度数范围内延伸。