图中 $k$-着色的完美采样界的改进

我们提出一种随机算法，输入为最大度数为 $\Delta$ 的无向 $n$ 顶点图 $G$ 与整数 $k > 3\Delta$，输出 $G$ 的一个随机正常 $k$-着色。该着色的分布在所有正常 $k$-着色集合上完全均匀；算法的期望运行时间为 $\mathrm{poly}(k,n)=\widetilde{O}(n\Delta^2\cdot \log(k))$。这改进了 Huber~(STOC 1998) 的结果，其得到了 $k>\Delta^2+2\Delta$ 时的多项式时间完美采样算法。在我们工作之前，已知一般情形下保证以子二次颜色数进行完美采样且期望运行时间为 $\mathrm{poly}(k,n)$ 的算法尚不存在。我们的算法（与包括 Huber 在内的若干其他完美采样算法一样）基于 Past 耦合方法。受 Huber~(STOC 1998) 与 H\"aggstr\"om \& Nelander~(Scand.{} J.{} Statist., 1999) 各自开创的\emph{边界链}方法启发，我们采用一种新颖的边界链来推导图着色问题的该结果。