通过软着色和部分拒绝采样实现图正常着色的均匀采样

我们提出了一种新算法，用于对具有最大度$\Delta$的$n$个顶点的图的正常$k$-着色进行精确均匀采样。该算法基于部分拒绝采样（PRS），并引入了正常着色约束的软松弛，该约束逐步收紧，直到获得精确样本。与从过去耦合（CFTP）不同，该方法本质上是可并行的。我们提出了一种混合变体，将全局采样问题分解为大小为$O(\log n)$的独立子问题，每个子问题由任何现有的精确采样器求解。这种分解充当了{\em 复杂度降低器}：它将组件求解器运行时的输入大小$n$替换为$O(\log n)$，因此直接方法的任何改进都会自动产生更强的结果。使用现有的CFTP方法作为组件求解器，这改进了$k>3\Delta$时最佳已知精确采样运行时间。混合方法的递归应用将运行时间降至$O(L^{\log^* n}\cdot n\Delta)$，其中$L$是松弛级别的数量。我们推测$L$独立于$n$有界，这将为一般图产生线性时间可并行算法。我们的模拟强烈支持这一猜想。