图中 $k\geq (8/3 +o(1))\Delta$ 染色的完美采样

我们提出一种随机算法，其输入为具有 $n$ 个顶点、最大度数为 $\Delta$ 的无向图 $G$，以及颜色数 $k \geq (8/3 + o_{\Delta}(1))\Delta$，并在期望时间 $\tilde{O}(n\Delta^{2}\log{k})$ 内返回 $G$ 的一个正常 $k$-染色，该染色在 $G$ 的所有正常 $k$-染色的集合上完美均匀分布。值得注意的是，我们的采样器突破了 Bhandari 和 Chakraborty 近期工作 [STOC 2020] 中遇到的 $k = 3\Delta$ 壁垒。我们还概述了如何修改我们的方法，将 $k$ 的限制放宽到 $k \geq (8/3 - \epsilon_0)\Delta$，其中 $\epsilon_0 > 0$ 为绝对常数。如同 Bhandari 和 Chakraborty 的工作以及 Huber 的开创性工作 [STOC 1998]，我们的采样器基于 Past 耦合 [Propp&Wilson, Random Struct. Algorithms, 1995] 和边界链方法 [Huber, STOC 1998; H\"aggstr\"om&Nelander, Scand. J. Statist., 1999]。我们的创新包括受 Jerrum 对 Glauber 动力学分析 [Random Struct. Algorithms, 1995] 启发的新颖边界链例程，以及使用算法 Lov\\'asz 局部引理 [Moser&Tardos, J.ACM, 2010] 的边界链预处理例程。