Gibbs 采样快速对 G(n,d/n) 进行着色采样

Gibbs 采样（也称为 Glauber 动力学）是一种用于对定义在图上的高维分布进行采样的流行技术。特别令人关注的是 Gibbs 采样在 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 G(n,d/n) 上的行为。虽然 G(n,d/n) 中的平均度为 d(1-o(1))，但它包含许多度数为 $\log n / \log \log n$ 量级的节点。几乎对数度数节点的存在意味着，对于定义在 G(n,p) 上的许多自然分布（如均匀着色或 Ising 模型），Gibbs 采样的混合时间至少为 $n^{1 + \Omega(1 / \log \log n)}$。高度数节点为证明包括着色在内的许多模型的动力学具有多项式时间混合性带来了技术挑战。在本工作中，我们考虑 q-着色采样，并证明对于每个 $d < \infty$，存在 $q(d) < \infty$，使得对于所有 $q \geq q(d)$，G(n,d/n) 上 Gibbs 采样的混合时间以高概率关于 $n$ 是多项式的。我们的结果是首个针对 d > 1 且颜色数量不依赖于 n 的 G(n,d/n) 上的着色模型所证明的多项式时间混合结果。这些结果可推广到在某种平均意义上稀疏的更广泛图族以及更广泛的相互作用。结果还可推广到低逸度下的 hard-core 模型以及高温下的软约束一般模型。