基于谱独立性的 Glauber 动力学对所有度数的快速混合

我们证明了在树唯一性机制下，具有 $n$ 个顶点的反铁磁双自旋系统的 Glauber 动力学的谱隙的最优 $\Omega(n^{-1})$ 下界。该谱隙对所有最大度数 $\Delta$ 成立，包括无界情形。因此，对于满足松弛度 $\delta\in(0,1)$ 的唯一性条件的模型，我们有以下混合时间界：$\bullet$ 对于逸度 $\lambda\le (1-\delta)\lambda_c(\Delta)= (1-\delta)\frac{(\Delta - 1)^{\Delta - 1}}{(\Delta - 2)^\Delta}$ 的硬核模型，混合时间为 $C(\delta) n^2\log n$；$\bullet$ 对于边活跃度 $\beta\in\left[\frac{\Delta-2+\delta}{\Delta-\delta},\frac{\Delta-\delta}{\Delta-2+\delta}\right]$ 的 Ising 模型，混合时间为 $C(\delta) n^2$；其中最大度数 $\Delta$ 可依赖于顶点数 $n$，且 $C(\delta)$ 仅依赖于 $\delta$。我们的证明建立在最近发展的自旋系统 Glauber 动力学与高维扩张器游走之间的联系之上。特别地，我们证明了一种更强的谱独立性概念，称为完全谱独立性，并使用一种称为场动力学的新颖马尔可夫链将这种更强的谱独立性与所有度数的 Glauber 动力学快速混合联系起来。