基于谱独立性的图着色快速混合

Anari 等人 (2020) 的谱独立性方法利用了 Alev 和 Lau (2020) 关于高维扩展图的最新结果，并建立了定义在加权独立集上的硬核模型的 Glauber 动力学的快速混合。我们为着色问题发展了谱独立性方法，并获得了相应计数/采样问题的新算法结果。令 $\alpha^*\approx 1.763$ 表示 $\exp(1/x)=x$ 的解，并令 $\alpha>\alpha^*$。我们证明，对于任意最大度数为 $\Delta$ 的无三角形图 $G=(V,E)$，对所有 $q\geq\alpha\Delta+1$，$q$-着色的 Glauber 动力学的混合时间在 $n=|V|$ 内为多项式，且多项式的指数与 $\Delta$ 和 $q$ 无关。相比之下，先前着色的近似计数结果在类似的 $q$ 范围（关于 $\Delta$ 渐近）内成立，但具有更大的围长要求或运行时间中多项式指数依赖于 $\Delta$ 和 $q$（指数级）。使用谱独立性方法研究着色的一个进一步特点是，它避免了先前方法中由耦合论证或过渡到复平面所引起的许多技术复杂性；运行时间的关键改进基于相对简单的组合论证，随后被转化为谱界。