最大匹配与最快混合马尔可夫链的降维

设 $G = (V,E)$ 为最大度 $\Delta$、顶点连通度 $\Psi^*(G)$ 的无向图。我们证明存在对称随机矩阵 $P$，其非对角项支撑于 $E$，且其谱间隙 $\gamma^*(P)$ 满足 $$\Psi^*(G)^{2}/\log\Delta \lesssim \gamma^*(P) \lesssim \Psi^*(G).$$ 在 Small Set Expansion Hypothesis 下我们的界是最优的，并回答了 Olesker-Taylor 与 Zanetti 的一个问题，他们得到了将 $\log\Delta$ 替换为 $\log|V|$ 的此类结果。为获得该结果，我们展示如何将定义在 $V$ 上的负型半度量 $d$ 嵌入到支撑于 $\mathbb{R}^{O(\log\Delta)}$ 中的负型半度量 $d'$，使得加权图 $(V,E,d)$ 的（分数）匹配数与 $(V,E,d')$ 的近似相等。