有限域向量空间子集中某些构型嵌入的改进界

第四作者与 Hans Parshall（\cite{IosevichParshall}）证明了：若 $E \subset {\mathbb F}_q^d$，$d \ge 2$，且 $G$ 是一个具有 $k+1$ 个顶点的连通图，其中任一顶点的最大度数为 $m$，则当 $|E| \ge C q^{m+\frac{d-1}{2}}$ 时，对任意 $t>0$，存在 $E$ 中 $k+1$ 个点 $x^1, \dots, x^{k+1}$，使得若第 $i$ 个顶点与第 $j$ 个顶点在 $G$ 中由一条边相连，则有 $||x^i-x^j||=t$。在本文中，我们给出若干迹象表明最大度数并非总是复杂度的正确概念，并证明若干具体结果以获得比 Iosevich-Parshall 结果更好的指数。这可视为朝着理解有限域向量空间子集中图嵌入的正确复杂度概念迈进的一步。