离散平面中点构型的插值

通过 $||x-y||:=(x_1-y_1)^2+\cdots + (x_d-y_d)^2$ 对 $x,y\in \mathbb{F}_q^d$ 在有限域上形式化地定义距离，距离问题自然地类比于 Erd\H{o}s 和 Falconer 在欧几里得空间中研究的问题。给定一个图 $G$ 和一个集合 $E\subseteq \mathbb{F}_q^2$，令 $\Delta_G(E)$ 为对应于 $G$ 的广义距离集。当 $G$ 是 $k+1$ 个顶点上的完全图时，Bennett、Hart、Iosevich、Pakianathan 和 Rudnev 证明了当 $|E|\geq q^{d-\frac{d-1}{k+1}}$ 时，有 $|\Delta_G(E)|\geq cq^{\binom{k+1}{2}}$。当 $k=d=2$ 时，阈值可以改进为 $|E|\geq q^{\frac{8}{5}}$。此外，Jardine、Iosevich 和 McDonald 证明了当 $G$ 是具有 $k+1$ 个顶点的树时，只要 $E\subseteq \mathbb{F}_q^d$，$d\geq 2$ 满足 $|E|\geq C_kq^{\frac{d+1}{2}}$，就有 $\Delta_G(E)=\mathbb{F}_q^k$。在本文中，我们提出了一种技术，使我们能够研究某些具有刚性和非刚性组件的图。特别地，我们证明了对于 $E\subseteq \mathbb{F}_q^2$，$q=p^n$，$n$ 为奇数，$p\equiv 3 \ \text{mod} \ 4$，且 $G$ 是由两个在顶点处相连的三角形组成的图，只要 $|E|\geq q^{\frac{12}{7}}$，就有 $|\Delta_G(E)|\geq cq^6$。