固定距离集、有限域中的 Wolff 指数与改进的和积估计

向量空间中 Falconer 距离问题的类比问题要求确定阈值 $\alpha>0$，使得当 $|E| \gtrsim q^{\alpha}$ 时，$|\Delta(E)| \gtrsim q$，其中 $E \subset {\Bbb F}_q^d$，是以 $q$ 为元素个数（不一定为素数）的 $d$ 维向量空间。这里 $\Delta(E)=\{{(x_1-y_1)}^2+...+{(x_d-y_d)}^2: x,y \in E\}$。第二作者与 Misha Rudnev 建立了阈值 $\frac{d+1}{2}$，而本文的作者 Doowon Koh 与 Misha Rudnev 证明了在偶数维数中该指数是尖锐的。在本文中，我们在假设 $E$ 具有乘积结构的额外条件下，将阈值改进为 $\frac{d^2}{2d-1}$。特别是，我们获得了与 Wolff 在欧几里得空间中取得的指数 4/3 一致的结果。