素数域上距离集的结构

设 $\mathbb{F}_q$ 为阶为 $q$ 的有限域，$\mathcal{E}$ 为 $\mathbb{F}_q^d$ 中的一个集合。$\mathcal{E}$ 的距离集记为 $\Delta(\mathcal{E})$，是由 $\mathcal{E}$ 中点对所确定的不同距离的集合。最近，Iosevich、Koh和Parshall（2018）证明了若 $|\mathcal{E}|\gg q^{d/2}$，则 $\Delta(\mathcal{E})$ 的商集满足 $$\left\vert\frac{\Delta(\mathcal{E})}{\Delta(\mathcal{E})}\right\vert=\left\vert \left\lbrace\frac{a}{b}\colon a, b\in \Delta(\mathcal{E}), b\ne 0\right\rbrace\right\vert\gg q.$$ 本文中，当 $\mathcal{E}$ 是素数域上集合的笛卡尔积时，我们打破了指数 $d/2$。更确切地说，设 $p$ 为素数且 $A\subset \mathbb{F}_p$。若 $\mathcal{E}=A^d\subset \mathbb{F}_p^d$ 且对某些 $\varepsilon>0$ 有 $|\mathcal{E}|\gg p^{\frac{d}{2}-\varepsilon}$，则我们有 $$\left\vert\frac{\Delta(\mathcal{E})}{\Delta(\mathcal{E})}\right\vert, ~\left\vert \Delta(\mathcal{E})\cdot \Delta(\mathcal{E})\right\vert \gg p.$$ 这种改进在任意有限域上是不可能的。这些结果使我们对有限域上距离集的结构以及Erd\H{o}s-Falconer距离猜想有了更好的理解。