$\mathbb{F}_q^d$ 中距离集的求和集

设 $\mathbb{F}_q$ 为阶为 $q$ 的有限域，其中 $q$ 为大的奇素数幂。本文改进了 Shparlinski (2016) 关于距离集的加性能量以及距离集求和集的一些近期结果。更确切地说，我们证明对于 $\mathcal{E}\subseteq \mathbb{F}_q^d$，若 $d=2$ 且 $q^{1+\frac{1}{4k-1}}=o(|\mathcal{E}|)$，则有 $|k\Delta_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{E})|=(1-o(1))q$；若 $d\ge 3$ 且 $q^{\frac{d}{2}+\frac{1}{2k}}=o(|\mathcal{E}|)$，则有 $|k\Delta_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{E})|=(1-o(1))q,$ 其中 k\Delta_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{E}):=\Delta_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{E})+\cdots+\Delta_{\mathbb{F}_q}(\mathcal{E}) ~(\mbox{k 次}).