关于距离集的商集

设 ${\Bbb F}_q$ 为阶为 $q$ 的有限域。我们证明：若 $d\ge 2$ 为偶数且 $E \subset {\Bbb F}_q^d$ 满足 $|E| \ge 9q^{\frac{d}{2}}$，则 $${\Bbb F}_q=\frac{\Delta(E)}{\Delta(E)}=\left\{ \frac{a}{b}: a \in \Delta(E), b \in \Delta(E) \backslash \{0\} \right\},$$ 其中 $$\Delta(E)=\{||x-y||: x,y \in E\}, \ ||x||=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_d^2.$$ 若维数 $d$ 为奇数且 $E\subset \mathbb F_q^d$ 满足 $|E|\ge 6q^{\frac{d}{2}}$，则 $$\{0\}\cup\mathbb F_q^+ \subset \frac{\Delta(E)}{\Delta(E)},$$ 其中 $\mathbb F_q^+$ 表示 $\mathbb F_q$ 中非零二次剩余组成的集合。一般而言，这两个结果都是最优的，包括关于奇数维中非零二次剩余的结论。