关于奇数$q$下$\mathbb{Z}_q^d$中Erdős-Falconer距离问题的结果

$\mathbb{Z}_q^d$中的Erdős-Falconer距离问题要求证明：如果$E \subset \mathbb{Z}_q^d$具有足够大的基数，则$\Delta(E) := \{(x_1 - y_1)^2 + \dots + (x_d - y_d)^2 : x, y \in E\}$满足$\Delta(E) = \mathbb{Z}_q$。这里，$\mathbb{Z}_q$是模$q$的整数集，$\mathbb{Z}_q^d$是$\mathbb{Z}_q$上的秩为$d$的自由模。我们在两个方向上扩展了已知结果。先前的结果仅在$q = p^{\ell}$（其中$p$为奇素数）的设定下已知，因此仅表明距离集中得到了所有单位。我们移除了$q$是素数幂的限制，并且尽管如此，证明了当$E$足够大时，$E$的距离集包含$\mathbb{Z}_q$的\emph{全部}元素。