有限域中任意 k 个点之和

对于集合 $E\subset \mathbb F_q^d$，我们将 $k$-结果模长集定义为 $\Delta_k(E) =\{\|\textbf{x}_1 + \dots + \textbf{x}_k\|\in \mathbb F_q: \textbf{x}_1, \dots, \textbf{x}_k \in E\},$ 其中对于 $\textbf{v}=(v_1, \ldots, v_d) \in \mathbb F_q^d$ 有 $\|\textbf{v}\|=v_1^2+\cdots+ v_d^2.$ 在本文中，我们发现了有限域中球面的 $k$-结果模长集基数下界与限制定理之间的联系。作为推论，证明了如果 $E\subset \mathbb F_q^d$ 且 $|E|\geq C q^{\frac{d+1}{2}-\frac{1}{6d+2}},$ 则对于 $d = 4$ 或 $d = 6$ 有 $|\Delta_3(E)|\geq c q$，对于偶数维 $d \geq 8$ 有 $|\Delta_4(E)| \geq cq$。此外，我们证明了如果 $d\geq 8$ 为偶数，且对于 $\varepsilon >0$ 有 $|E|\geq C_\varepsilon ~q^{\frac{d+1}{2} - \frac{1}{9d -18} + \varepsilon}$，则 $|\Delta_3(E)|\geq c q.$