有限域上簇中集合的乘积

设 $V$ 为 $\mathbb{F}_q^d$ 中的一个簇且 $E\subset V$。已知若过原点的任意直线包含来自 $E$ 的有界个点，则只要 $|E|\gg q^{\frac{d}{2}}$，就有 $|\prod(E)|=|\{x\cdot y\colon x, y\in E\}|\gg q$。本文证明当 $V$ 为某些特定维数中的抛物面时，可突破 $\frac{d}{2}$ 这一壁垒。我们方法的主要新颖之处在于将这一问题与低一维向量空间中的距离问题相联系，从而能利用该领域近期进展获得改进。