$\mathbb{F}_q^d$ 上距离图中任意长度的环

对于 $E \subset {\Bbb F}_q^d$，$d \ge 2$，其中 ${\Bbb F}_q$ 为含 $q$ 个元素的有限域，我们考虑距离图 ${\mathcal G}^{dist}_t(E)$，$t \not=0$，其顶点为 $E$ 的元素，若 $||x-y|| \equiv {(x_1-y_1)}^2+\dots+{(x_d-y_d)}^2=t$ 则两顶点 $x$、$y$ 由一条边相连。我们证明若 $|E| \ge C_k q^{\frac{d+2}{2}}$，则 ${\mathcal G}^{dist}_t(E)$ 含有统计正确的 $k$ 长度的环数。我们还将考虑点积图 ${\mathcal G}^{prod}_t(E)$，$t \not=0$，其顶点为 $E$ 的元素，若 $x \cdot y \equiv x_1y_1+\dots+x_dy_d=t$ 则两顶点 $x$、$y$ 由一条边相连。我们在该情形下利用更精细的方法得到类似结果，这是由于函数 $x \cdot y$ 不具有平移不变性所致。对于足够长的环，指数 $\frac{d+2}{2}$ 有所改进。